twitter SMAN 4 Lahat

Matematika Sekolah II


BAB  6
Olkin Lingram .Pertama mengambil trik perdagangan dari waktu ke waktu dan satu yang Anda harus kembangkan adalah apa yang harus dilakukan ketika Anda dijadwalkan akan pembahas di kertas yang belum anda lihat ,di mana Anda tidak tahu format atau apa yang sedang direncanakan. saya belajar bagaimana menangani masalah ini pada pertemuan prosedur society. Prosedur adalah pembicara untuk memberikan kuliah ilmiah, setelah ada sejumlah pembahas.Pembahasan Pertama dan kedua  memainkan peran spesial ,bahwa pembahasan  pertama mengusulkan suara berterima kasih dan pembahasan kedua mendukung suara awal.Pembukaan diskusi adalah sesuatu seperti "Saya senang mempersembahkan suara terima kasih" ini diikuti dengan besar tapi atau namun setelah yang dia merasa sangat nyaman merobek kertas terpisah.
Sekali ketika saya menghadiri pertemuan, Frank Anscombe universitas Yale baru saja tiba dari Amerika Serikat. Salah satu kursi berkata, "kami memiliki seorang teman lama dari Amerika Serikat yang berada di sini dan aku bertanya-tanya apakah ia ingin memberikan komentar di atas kertas , "yang kebetulan berada di daerah ini. Anscombe itu bingung dan berkata, "Bertahun-tahun yang lalu ketika saya sering ada di ruang ini, tidak biasa bagi pembahasan untuk berbicara tentang topik yang sama sekali asing dari si pembicara," ia kemudian lounched ke dalam presentasi ini bekerja sendiri.
            Jadi saya sekarang merasa bebas untuk menyimpang beberapa dari topic utama.Itu adalah Anggota  ketiga yang klatsch di mana Alan Schoenfeld , Jim greeno dan aku berbicara tentang pengaturan konferensi seperti ini. Motivasi berasal dari kenyataan bahwa ada tiga konstituen utama yang bersangkutan dengan pendidikan matematika: penelitian matematika, pendidik matematika dan psikolog kognitiftive. Kelompok ini adalah seseorang terisolasi dari yang lain . Mereka umumnya. tidakpercaya satu sama lain dan sering tidak percaya bahwa konstituen lain memiliki sesuatu untuk kontribusi. Dan memang sangat jarang untuk rapat kognitif psikolog untuk mengundang seorang ahli matematika penelitian untuk mengetahui pandanganny.Itu  mungkin lebih jarang untuk membalikkan demikian, apa konferensi ini dapat Anda capai adalah untuk memberikan kesempatan bagi berbagai kelompok untuk bersama-sama. Jika kita tidak ada yang lain tapi mendengarkan satu sama lain, konferensi akan menjadi kesuksesan jika itu tidak bisa tetapi  membantu setelah beberapa konsepsional selanjutnya dipegang atau konsep salah
Tema berulang yang saya dengar dalambanyak  pembicaraan bukan hanya hari ini, tetapi pada konferensi lain adalah penekanan pada kurikulum studi.Suatu kasus khusus, misalnya akan diberikan kepada kelas, dan pengamatan efeknya akan terbuat.Sebagai seorang ahli statistik saya perlu mengetahui populasi yang lebih besar dari yang sampel ini diambil, dan generalisasi  grup yang akan dibuat. Jika hal ini tidak dilakukan, maka percobaan ini menjadi pengamatan.Satu prosedur yang digunakan dalam ilmu adalah untuk mengacak individu ke dalam kontrol dan eksperimental kelompok. Saya mendorong bahwa eksperimen dianggap dalam cahaya
Sekarang, kembali ke putnam.I sangat inteested dalam pembicaraan, dan lelucon-lelucon . Poin yang mengejutkan saya adalah bahwa jumlah peringkat yang digunakan sampai pada suatu peringkat pertandingan.Ini yang memunculkan pertanyaan statistik yang menarik, yakni, berapa banyak pertanyaan harus Anda miliki di tes untuk dapat membedakan antara masalah individu. Masalah ini  atau variasi lainnya, sangat terkenal dalam berbagai contoh konteks.Contohnyauntuk seri dunia dengan jumlah tetap tujuh pertandingan adalah Diskriminator miskin dalam arti bahwa jika tim dekat dalam kemampuan seperti yang biasanya terjadi. lumayan ada kemungkinan bahwa tim miskin mungkin menang. Karena jumlah peningkatan permainan, kemungkinan penurunans.Jadi, kemungkinan akan menarik untuk memperkirakan proporsikesalahan klasifikasi.Ini dapat dipelajari dengan kriteria eksternal.
Saya pertanyaan bagaimana baik puinam adalah dalam hal adalah dalam hal memprediksi kemampuan penelitian.Dalam penelitian memprediksi kasus kita sendiri di Stanford, saya tidak berpikir bahwa kita memiliki track record yang besar dalam memilih calon kita harapkan untuk sukses.Tentu definisi keberhasilan disini adalah pada hati dari seberapa baik kita lakukan.
"temperamen Putnam" adalah frasa yang menarik dan mungkin menunjuk
pusat pembicaraan . Saya baru saja membaca buku Feynman's richard” Tentunya Kau bercanda”, Mr.Feynman. Dia adalah anggota sebuah klub matematika yang mirip dengan Putnam pada tahun yang ada kontes matematika setiap atau setiap selain sabtu.Feynman lain yang dibuat komentar bahwa apa yang perhatikan adalah bahwa masalah-masalah membawa 50 detik untuk memecahkan, namun mereka diberi hanya 40 detik. Jadi pertanyaan-pertanyaan adalah bagaimana Anda dapat menemukan jawaban dalam waktu kurang /? Ada beberapa jenis wawasan yang berbeda, sulit untuk menjelaskan, tetapi merupakan pusat untuk memecahkan masalah.Untuk beberapa derajat
pembahasan melibatkan selalu mempertanyakan bagaimana Anda tahu.Dalam  buku Feynman dia pergi ke suatu ekstrim untuk menguji apakah semut berjalan di garis lurus dengan gula dalam bak mandi dan mengamati jalan mereka Tapi pertanyaan bagaimana Anda tahu. adalah esensi dari bukti . Kita perlu memahami mekanisme yang meningkatkan individu pertanyaan seperti itu.
Dalam matematika kita menggunakan kata "indah" untuk merujuk kepada masalah, teori atau solusi dan istilah yang umumnya dimengerti.Tetapi individu berpengalaman tidak tahu apa arti istilah indah.jangka yang Anda gunakan dalam makalah ini kesederhanaan, keanehan, keniscayaan atau ingin tahu jawabannya Sekali lagi,. ada Pengertisn umum istilah-istilah oleh komunitas matematika. Saya berpikir bahwa penelitian matematika dikonsumsi oleh kebutuhan untuk mengetahui jawabannya.Satu pertanyaan bahwa kita harus memeriksa apakah tha individu non matematis yang mencoba memecahkan masalah ingin jawabannya.Ini adalah, apakah ada kebutuhan nyata untuk tahu?
Anda menyebutkan bahwa masalah diselesaikan dengan kontestan hanya satu atau
dua bukan masalah yang baik. Hal ini mengingatkanku pada perjalanan yang saya ambil dengan Polya. Saya tentang perjalanan saya ambil dengan polya.Saya mengantarkannya untuk San luis Obispo ke pertemuan asosiasi matematika, dan saya bertanya bagaimana masalah disertasi adalah satu yang baik.Dia mengatakan bahwa yang pertama memecahkan masalah thae dan catatan berapa lama membawanya. jika ia memecahkan itu dalam jangka waktu tertentu, maka ia tahu bahwa itu adalah layak dan baik topik tesis. Saya tidak tahu bahwa saya setuju dengan prosedur, tetapi berkaitan dengan salah satu poin Anda dalam cara mengajar prosedur siswa.Satu prosedur  adalah meminta seorang siswa untuk menimbulkan masalah baru dari pemberian yang diberikan untuk melakukan hal ini siswa akan harus memahami apa yang membuat masalah dan solusi kerja.
BruceReznick, saya tertarik bahwa Anda dibesarkan peringkat pada putnam karena Saya pernah melakukan penelitian yang tidak saya kejar. Kami punya daftar lengkap nilai titik dan peringkat, dan aku merencanakan log peringkat terhadap score.Poin itu adalah hampir linier untuk sebagian besar seluruh range.Tergantung pada ujian, setiap masalah peringkat dikurangi dengan faktor 2,1 atau 1,8 atau sesuatu seperti itu tapi itu konsisten dari satu ke yang lain. Saya tidak tahu apa model distribusi yang sesuai dengan kemampuan. Aku bertanya statistik sekali dan saya tidak mendapatkan jawaban, dan saya kasmani mengejar itu

Ingram Olkin baik, itu iterestingat sedikitnya bahwa ada hubungan yang baik

Bruce Reznick Hubungan diadakan untuk tahun saya melihatnya

Olkin Ingram mungkin akan berubah jika ada pertanyaan lebih lanjut atau pertanyaan lebih rendah. sehingga mungkin bahwa nomor yang Anda minta adalah tentang hak

Bruce Reznick poin lain tentang temperamen Putnam adalah kenyataan bahwa banyak "peringkat Putnam" seperti aku . Ini adalah jelas Diakui sifat. Kedua kegiatan benar-benar manifestasi dari proses pemikiran yang sama. Sebuah manipulasi combinatorik simbol tanpa memperhatikan terlalu banyak untuk konten.
Alan Schonfeld Bruze Reznick dan komentar Loren Larson pada ujian Putnam memberikan kesempatan yang bagus untuk tipe A versus B perbandingan jenis pemecahan masalah tujuan dan gaya. Di tangan. ujian Putnam, dalam banyak kalangan, dipandang sebagai tes akhir (jenis tertentu) pemecahan masalah matematika dan sebagai bruce dan Loren memiliki masalah noted.Putnam memiliki rasa yang sangat khusus. Di sisi lain selama 15 tahun terakhir, saya telah menawarkan berbagai kursus di tujuan permasalahan.Masalah matematika dari program yang berbeda untuk substansial dari tujuan Putnam dan untuk berbagai alasan, program saya telah memanfaatkan sedikit permasalahan yang diambil dari masa lalu ujian Putnam.Saya pikir mungkin menarik untuk mengejar perbandingan (a) tujuan untuk setiap jenis pengalaman dan (b) berarti kita gunakan untuk sampai di sana, yaitu masalah (dan dengan demikian kriteria pemilihan mereka) bagaimana banyak yang kita di permainan yang sama, berapa tidak?
Simpangan pengantar, aku shoyld menunjukkan bahwa "pemecahan masalah" berarti banyak hal untuk banyak orang. Sebuah survei 1983 misalnya (Schoenfeld, 1983) menunjukkan bahwa lima set agak berbeda dari program semua berbaris di bawah pemecahan masalah banner

1. Seminar untuk mempersiapkan siswa untuk kompetisi seperti Putnam tersebut.
2. Program dirancang untuk memberikan para siswa saya dengan pengenalan apa artinya untuk berpikir matematis
3. Kursus untuk calon guru matematika dengan penekanan dengan penekanan pada belajar untuk memecahkan masalah, sehingga satu kemudian bisa mengajar siswa untuk melakukannya
4. Program dalam pemodelan matematika
5. Program remedial di mana masalah sedikit tidak standar digunakan sebagai alat untuk membantu siswa "mengembangkan kemampuan berpikir dasar"

Jelas masalah set yang digunakan dalam beberapa tipe kursus untuk misalnya, angka 1 dan 5 yang hampir jika tidak sepenuhnya tumpang tindih, tapi bagaimana dengan tipe 1 dan 2? seperti yang terjadi, program saya tipe 2. berapa banyak masalah jenis Putnam harus melakukan dengan masalah yang dipilih untuk membantu siswa "belajar untuk berpikir secara matematis?"
Biarkan saya katakan sedikit lebih banyak tentang sejarah kursus saya dan tujuan saya untuk mereka. Aku mulai mengembangkan program pemecahan masalah di-l970s pertengahan Ketika saya lakukan, saya harus menentukan tingkat di mana mereka akan ditawarkan. Mereka harus di tingkat doktor, mengatakan, dalam persiapan untuk kualifikasi ujian? Sementara program tersebut telah bermanfaat (dan beberapa, misalnya, yang diberikan di Stanford di tahun 1960-an yang legendaris), terlihat bahwa sebagian besar mahasiswa doktoral dapat dan harus berjuang sendiri. Artinya, jika mereka benar-benar diperlukan instruksi dalam pemecahan masalah di atas dan di luar kursus mereka bekerja, ada beberapa alasan untuk menjadi con-kornet tentang potensi mereka sebagai matematikawan. Menjatuhkan menurunkan tingkat, apa tentang seminar untuk mempersiapkan siswa untuk Putnam? Saya memutuskan itu juga. Seperti terjadi. Aku tidak terlalu baik pada masalah-masalah Putnam, saya cenderung lebih baik pada mengunyah lebih dari masalah yang lebih besar, lebih lambat. Kemungkinan besar bahwa saya tidak bisa memberikan banyak membantu, jika ada, untuk budding Bruce Reznicks dan Loren Larsons; orang-orang itu punya bakat yang saya tidak punya. Tapi yang lebih penting, tujuan saya adalah untuk menjangkau audiens yang lebih besar, dengan tujuan yang agak berbeda. Pada pertengahan 1970-an itu menjadi jelas bagi saya bahwa sebagian besar jurusan matematika kita, oleh tahun mereka junior atau senior, tidak tahu sebenarnya apa yang harus dilakukan matematika. Secara umum, mereka telah menghabiskan waktu mereka, melalui semua sekolah dasar dan menengah, melalui kalkulus, dan kemungkinan besar program sarjana mereka dalam persamaan diferensial dan aljabar linier, cukup menguasai teknik dan latihan kerja. Untuk sebagian besar dari mereka, matematika melakukan berarti mempelajari materi dan bekerja tugas yang ditetapkan oleh orang lain, dengan sedikit atau tanpa kesempatan untuk penyelidikan penemuan atau berkelanjutan. Sukacita menghadapi situasi baru dan berusaha untuk memahami suatu kebahagiaan-dari membenturkan kepala di dinding matematika, dan kemudian menemukan bahwa mungkin ada cara baik terjadi di sekitar atau di atas bahwa tembok-adalah salah satu yang banyak matematika jurusan don 't Pengalaman sampai akhir karier mereka. Memang, beberapa tidak memenuhi sampai tahun kedua atau ketiga sekolah pasca sarjana, setelah fording cara mereka melalui sulit tetapi masih "ini adalah konten yang harus tahu" program sarjana di analisis riil, analisis kompleks, dan aljabar. Saya ingin mahasiswa saya memiliki lebih banyak rasa matematika dari keterlibatan mereka dalam kursus standar
            Tentu saja pertama saya ditawarkan di Berkeley pada tahun 1976, di tingkat divisi atas. Hal ini menarik untuk dicatat bahwa siswa sangat maju-banyak mengambil program pascasarjana dan melakukan dengan baik-bisa gagal untuk memecahkan masalah yang sangat sederhana seperti "membuktikan, mencatat kondisi di mana hubungan tersebut berpendapat, bahwa jika sudut pusat dan sudut yang terdaftar di lingkaran subtend busur yang sama, maka ukuran sudut pusat adalah dua kali bahwa dari sudut tertulis "Keluar dari konteks, masalah sederhana adalah penyair, ketika siswa sudah lupa trik yang digunakan untuk memecahkan mereka.. Banyak dari mereka trik adalah aplikasi-Polya's strategi heuristik saya lakukan (dan melakukan) percaya bahwa kebanyakan matematikawan menjemput di perjalanan karir mereka, tetapi para siswa belum belajar. Program awal saya memecahkan masalah berfokus pada masalah setuju untuk solusi dengan heuristik Polya's-type: menggambar diagram, memeriksa kasus-kasus khusus atau analogi, spesialisasi, generalisasi, dan sebagainya.
Selama bertahun-tahun kursus berkembang ke titik di mana mereka kurang fokus pada heuristik per se dan lebih pada memperkenalkan mahasiswa pada ide-ide mendasar: pentingnya penalaran matematika dan bukti (yang banyak siswa tidak menganggap serius), misalnya, dan berkelanjutan matematika penyelidikan (di mana masalah saya menjabat sebagai titik awal untuk eksplorasi yang serius, bukan tugas yang harus diselesaikan). Masochists yang haus untuk detail akan menemukan deskripsi yang paling ekstensif versi awal tentu saja dalam buku saya Matematika. Pemecahan Masalah (1985). Bab saya dalam buku ini, "Refleksi Melakukan dan Pengajaran Matematika," menjelaskan beberapa hal yang saya fokus pada hari ini. Yang paling versi terbaru tentu saja saya telah ditawarkan di tingkat divisi yang lebih rendah Berikut alasannya. Siswa yang tidak akan mengikuti  jurusan matematika, atau yang tidak membutuhkan alat matematika untuk digunakan dalam ilmu, keuntungan dari pelajaran ini karena ia menawarkan mereka kesempatan untuk berpikir-kesempatan umum tidak hadir dalam kursus buku masak seperti kursus kalkulus standar . Ini memberi mereka rasa apa yang harus dilakukan matematika, rasa bahwa mereka akan dapat dirampas. Jurusan matematika-dan sejumlah besar dari mereka mendaftar di kursus-diberikan kesempatan dan waktu luang untuk bermain dengan ide-ide, menciptakan, dan untuk mengejar gagasan menarik untuk melihat apa yang mereka mungkin mengandung. Hal ini sering memberi mereka rasa apa yang harus dilakukan matematika, jauh sebelum mereka memiliki kesempatan dalam kursus standar. (Hal ini jelas dari komentar Loren's, dan setidaknya tersirat dalam Bruce, yang ini bisa menjadi milik seminar Putnam Para siswa terbaik bisa bermain dengan matematika, bersiul masalah, dan mungkin bahkan melakukan improvisasi pada melodi mereka..)
Sebagai program saya pemecahan masalah telah berevolusi, sehingga memiliki gagasan saya tentang apa yang merupakan masalah baik bagi mereka. Estetika Masalah saya terdiri dari lima kriteria yang saya hakim kegunaan potensi masalah kursus saya. Ide dasarnya adalah diringkas dalam Tabel I. elaborasi Sebuah berikut, walaupun sebagian besar item harus besar Cukup jelas.
Pertama, preferensi saya untuk "kemudahan akses" masalah-masalah yang memerlukan sedikit dengan cara latar belakang formal, atau pengetahuan khusus atau metode, pada tingkat pemula. Alasan harus jelas: Saya tidak perlu memberikan informasi latar belakang yang luas, dan siswa tidak cacat oleh latar belakang diferensial. Sebagaimana dicatat di atas, ini tidak berarti bahwa masalah yang kita bekerja pada yang selalu sepele. Di luar konteks, bukan masalah sederhana dapat membuktikan secara mengejutkan menantang. (satu contoh:. pembaca mungkin ingin untuk membuat jalan mereka melalui masalah konstruksi geometris dalam Bab I dari Polya's Matematika Discovery [1981])
Kedua, "multiple akses" masalah memiliki beberapa sifat yang bagus. Mereka memungkinkan saya untuk menunjukkan kepada siswa bahwa ada sering kali lebih dari satu cara untuk kulit kucing matematika, dan bahwa apa yang penting adalah lebih dari sekedar mendapatkan jawaban,


TABEL 1
Masalah "Estetis" untuk Program Pemecahan Masalah-
Masalah yang baik harus:

1. Dapat diakses (tidak memerlukan banyak mesin).
2. Jadilah dipecahkan (atau setidaknya didekati) sejumlah cara.
3. Menggambarkan ide penting (matematika baik).
4. Tidak memiliki solusi trik.
5. Jadilah extensible dan digeneralisasikan (mengarah pada eksplorasi matematika kaya).

tapi melihat koneksi atau ide matematika. Hal ini jelas merupakan bagian penting dari kedua Bruce Reznick dan estetika masalah Loren Larson: Bruce menyebutkan masalah dengan tiga solusi, dan Loren menyajikan lima solusi untuk masalah teladannya. (di kelas saya mencatat sejumlah besar bukti yang masih ada dari teorema Pythagoras, misalnya dan bahwa setiap anggota departemen matematika Berkeley akan senang untuk menemukan bukti baru.. Ini adalah salah satu salvos pertama dalam upaya saya untuk mendapatkan siswa luar yang "mendapatkan jawaban dan bergerak pada" sindrom) Selain., kenyataan bahwa orang mungkin mencoba banyak hal yang berbeda pada masalah, hanya beberapa yang akan terbukti berhasil, berfungsi sebagai sebuah kesempatan untuk meningkatkan "logistik" (self-regulatory , atau "kontrol") masalah: Bagaimana Anda memutuskan apa yang harus mengejar, dan untuk berapa lama, sebelum mempertimbangkan opsi lain? (Untuk detail, lihat bab 1, 4, dan 9 dari saya Pemecahan Masalah Matematika (1985).

Tema ketiga dan keempat berkaitan erat. Di sisi positif. Saya ingin masalah untuk melayani sebagai kendaraan untuk memperkenalkan siswa untuk beberapa, nyata jujur​​, matematika berharga. Itu berarti bahwa baik topik sendiri harus berharga (dan kita bisa membuat kemajuan yang baik pada mereka, ide-ide penting yang menggambarkan), atau bahwa pola penalaran yang terlibat dalam memecahkan masalah. Kategori yang terakhir ini membelah dua cara. Di satu sisi, ada mode matematika umum yang berguna pemikiran: berbagai jenis bukti, representasi abstraksi, dll Di sisi lain, beberapa masalah memberikan konteks yang bagus untuk menggambarkan strategi heuristik tertentu dan untuk menunjukkan bagaimana orang bisa membuat kemajuan pada masalah-masalah yang , pada lulus pertama, tampak keras. Sebaliknya, saya mencoba untuk menghindari masalah dengan solusi trik.

Dari penonton. Apa solusi trik? -
Bruce Reznick. Saya mendefinisikan sebuah trik sebagai teknik Anda belum lihat sebelumnya.

Alan Schoenfeld. . . . dan tidak akan digunakan lagi.
Kelima dan, paling, penting, saya pikir masalah saya sebagai titik awal, sebagai perkenalan untuk eksplorasi matematika berpotensi kaya. Tujuan saya adalah untuk memberikan mahasiswa saya kesempatan untuk melakukan matematika, dan masalah saya memilih dimaksudkan untuk memfasilitasi tujuan tersebut. Saya akan menyebutkan dua masalah seperti di sini, mereka telah dibahas secara luas di tempat lain.
Satu masalah, dipinjam dari Steve Brown dan Marian Walter Seni Soal Menyamar (1990), adalah meminta siswa untuk mengejar ekstensi dari teorema Pythagoras. (Lihat bab saya "Refleksi Melakukan dan Pengajaran Matematika" untuk rinciannya.) Yang-liner adalah bahwa mahasiswa saya luka Facebook conjecturing dan membuktikan beberapa (relatif kecil, namun tidak trivial) hasil yang saya tidak tahu. Masalah lain dimulai dengan meminta mahasiswa saya untuk mencari 3 X 3 persegi ajaib. Begitu mereka telah menemukannya, kita mulai dengan pertanyaan-pertanyaan menarik. Apakah solusi yang unik? Bagaimana jika kita menggunakan bilangan bulat selain 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9? Bagaimana tentang 31 melalui 39? Bagaimana dengan 7, 14 63? Bagaimana mengenai urutan aritmatika? Masalah-masalah yang sepele, dan para siswa segera menyadari bahwa jika S adalah sebuah persegi ajaib dengan angka 1 sampai 9, kemudian-dengan menggunakan notasi-jelas matriks (aS + b) adalah sebuah persegi ajaib. Jadi, Anda dapat menghasilkan kotak ajaib jauh banyak dari alun-alun dasar. Berikut adalah pertanyaan yang lebih ketat. Misalkan Anda memiliki 3 X 3 sihir persegi-satu set sembilan digit mengadakan 3 X 3 matriks dengan sifat bahwa jumlah setiap kolom, baris, dan diagonal dari matriks adalah sama. Harus persegi ini bisa dalam bentuk (aS + b), dimana S adalah sebuah persegi ajaib dengan angka 1 sampai 9? Dan seterusnya. Intinya adalah bahwa ada banyak jujur​​-untuk matematika-kebaikan yang terlibat di sini: Masalah asli hanya berfungsi sebagai titik melompat off untuk penyelidikan matematika.
Kriteria ini terakhir kontras dalam cara yang menarik dengan kriteria yang ditentukan oleh Bruce Reznick.

Tiga pertanyaan awal yang paling penting pemecah masalah yang harus dihadapi adalah: (a) Apakah ada solusi? (b) Apa yang perlu saya ketahui untuk mencari solusi? (c) Apa yang terlihat seperti solusi? Pertanyaan-pertanyaan ini semua menjawab untuk pesaing Putnam, siapa tahu bahwa ada solusi, yang mungkin pendek dan pintar dan tidak memerlukan banyak pengetahuan.
Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa komentar Bruce berlaku untuk masalah dalam konteks ujian itu sendiri. Karena keduanya Bruce dan keluar Loren titik, setidaknya beberapa masalah Putnam dapat berfungsi sebagai titik awal untuk luas penyelidikan-dan beberapa masalah menghantui Bruce selama bertahun-tahun, dengan hasil yang produktif. Saya pikir Bruce hits kuku di kepala setidaknya dua kali. Pertama, ada komentar bahwa karakteristik utama dari masalah (Putnam) yang baik adalah sederhana, mengejutkan, dan tak terhindarkan. Hal ini tentu beresonansi dengan matematikawan dalam diri saya, dan saya berharap dengan kebanyakan matematikawan. Ada sebuah "pisau cukur Occam" estetika antara matematikawan, yang terlihat untuk argumen bersih dan menusuk, itu bukan kebetulan bahwa "licin" dan "elegan" adalah kata-kata pujian yang tinggi dalam komunitas matematika. Kesederhanaan berarti, karena tidak dapat dihindari-itu berarti ada sesuatu yang padat, dan tidak sembrono, tentang masalah tersebut. Adapun kejutan, dan fakta bahwa begitu banyak masalah Putnam memiliki sedikit dari ketiga, komentar kedua Bruce mengatakan itu lebih baik daripada aku bisa: "Cokelat kue dekadensi mode Ia adalah sebuah makanan lezat, tetapi membuat hidangan utama putus-putusnya."

Bruce Rezniclc Saya ingin mengangkat satu masalah dengan matematika penelitian di sini. Pertanyaan dari masalah yang mengarah ke masalah lain menyebabkan beberapa pertanyaan yang tidak menyenangkan. Apakah ada orang yang memecahkan masalah yang bahkan peduli tentang mereka sekali mereka menyelesaikannya? Ada banyak orang yang menganggap masalah tidak lagi menarik setelah itu dipecahkan-ini hampir seperti cacing tanah akan melalui bumi dan mungkin memperkaya itu sedikit, tapi begitu Anda sudah selesai Anda lupa kau pernah melalui ini patch khusus dari tanah . Sikap tertentu ditemukan lebih dari sekedar antara pemecah masalah. Saya berada di pertemuan AMS Toronto sekitar tujuh tahun yang lalu, di mana Dieudonné itu-berbicara tentang Bourbaki Dia ditanya mengapa tidak ada teori Galois di Bourbaki, dan dia berkata, "Karena tidak menimbulkan pertanyaan yang menarik." Ini tampaknya untuk saya untuk menjadi suatu ide yang steril dari apa keindahan matematika adalah bahwa, meskipun saya tidak suka Bourbaki sebelumnya, saya memutuskan pada titik bahwa aku pernah membeli buku, bahkan jika mereka berada di paperback.
Ed Dubinsky. Saya ingin membuat komentar. Menurut saya, memiliki sebuah konferensi tentang pemikiran matematika, dan khususnya dengan minat besar di bidang pendidikan matematika, yang berbicara tentang ujian Putnam benar-benar menimbulkan pertanyaan yang sangat penting, dan merupakan salah satu soal yang saya rasa saya tidak tahu banyak sama sekali. Saya pikir ini sangat penting dan perlu penelitian. Pertanyaannya adalah, apakah ada satu jenis pengetahuan matematika, atau ada dua?
Masalah kepedulian matematikawan profesional yang paling merupakan kelanjutan dan pelestarian spesies: pendidikan dan produksi matematikawan penelitian tingkat pertama, orang-orang yang dari awal sangat berbakat dalam matematika. Isu kedua, mungkin masalah mendasar yang menjadi perhatian bagi pendidik matematika, adalah bahwa dari matematika-meningkatkan melek dari tingkat pemahaman matematika di antara populasi umum yang akan diperlukan di masa depan. Mereka kembali dua masalah mendasar.
Saya pikir apa yang kita benar-benar harus bertanya, dalam konteks situasi ini, adalah: Apa hubungan antara keduanya? Sejauh mana orang-dua pertanyaan yang sama? Di mana mereka benar-benar pertanyaan yang sangat berbeda? Walaupun saya memiliki pengalaman di kedua wilayah ini, saya menemukan diri saya benar-benar bingung. Saya perlu tahu lebih banyak tentang apa pengetahuan matematika, dan saya pikir masalah yang harus menjadi bagian dari agenda jangka panjang kami.
Lester Senechal. Saya ingin mengomentari nilai indikator. Saya pikir Putnam merupakan indikator yang jauh lebih baik daripada yang mungkin Anda kira, tapi saya pikir itu adalah indikator yang baik untuk laki-laki saja. Saya pikir Putnam merupakan kegiatan yang sangat berorientasi laki-laki. Saya tidak berpikir ini adalah cara yang baik bagi perempuan. Saya sendiri, selama pendidikan saya di sekolah tinggi, menikmati mengambil ujian, dan aku seharusnya untuk waktu yang lama bahwa ini benar semua orang. Ini berangsur-angsur saya sadar bahwa mahasiswa saya perempuan, dan saya mengajar perempuan, tidak menikmati pemeriksaan. Mereka sangat terancam oleh mereka. Saya kira ada sesuatu yang sangat mengancam tentang Putnam yang berlaku untuk perempuan, dan aku takut ini mungkin berlaku untuk siswa minoritas juga. Saya pikir Putnam memiliki nilai yang sangat besar, tetapi kita juga harus menyadari bahwa sisi itu

Gaea Leinhardt. Aku ingin kembali ke tema yang diangkat oleh Ed Dubinsky, yang harus dilakukan dengan tujuan keaksaraan umum kami miliki untuk pembelajaran matematika. Satu hal yang saya sudah berpikir tentang adalah "masalah kolam renang," dan itu berhubungan langsung dengan konferensi ini. Yang saya maksud dengan masalah kolam renang, Anda perlu untuk memperluas kolam warga matematis kompeten.

Amerika Serikat perlu mendapatkan tingkat basis di atas kelas empat dalam matematika. Saya tidak peduli apa reformasi satu bicarakan. Pada saat ini, guru sekolah dasar memiliki sekitar satu kompetensi kelas empat. Artinya, mereka cukup kompeten di manipulasi kelas empat, namun mereka memiliki masalah serius yang nyata dengan apa pun di luar itu. Itu menunjukkan bahwa kita perlu memperkaya luar biasa dari basis pengetahuan matematika, dari tingkat bahwa sampai. Saya pikir semua kegiatan pengayaan secara otomatis akan memiliki efek pada kelompok yang lebih selektif. Anda tidak dapat membantu tetapi meningkatkan jumlah orang yang mendapatkan lebih jauh, dengan asumsi bahwa bagian dari masalah kita disebabkan oleh fakta bahwa beberapa orang-sering minoritas dan perempuan-telah dieliminasi terlalu dini dan akurat. Saya rasa ini adalah masalah yang sangat kritis dan membutuhkan, saya pikir, jenis kegiatan yang Anda hanya dijelaskan terjadi pada tingkat pendidikan yang lebih rendah.
Bahasa yang kami dengar dalam menanggapi presentasi Yehuda Schwartz menyarankan beberapa gagasan tentang apa yang anak-anak seharusnya berpikir. Saya pikir kita harus memperhatikan diri kita, yang persis dengan cara yang sama, dengan cara guru berpikir. Kita perlu untuk mengekspos guru untuk mode yang nyaman dan aman penyelidikan eksplorasi. Kecuali mereka sendiri merasa nyaman dengan penyelidikan, mereka tidak akan merasa nyaman memungkinkan siswa mereka kebebasan untuk terlibat dalam penyelidikan matematika.
Alan Schoenfeld. Masalah kolam cukup serius Berikut ini salah satu indikasi. Dua terakhir NRC (National Research Council) publikasi, Sebuah Tantangan Bilangan (1990) dan Renewing US Matematika (1990), menunjukkan betapa buruk masalah. Berikut ini salah satu set tokoh. Dua puluh tahun yang lalu, memasuki menyatakan diri sebagai mahasiswa jurusan matematika adalah 4,6% dari populasi. Mereka yang tetap bertahan menjadi jurusan matematika kurang dari 2% Hari ini memasuki persentase dari mereka menyatakan dirinya sebagai jurusan matematika s 0,8%.
John Addison. Saya pikir angka-angka yang sedikit menyesatkan, karena walaupun t tidak memiliki data tentang ini, saya akan menebak bahwa ada hampir saklar lengkap dalam populasi yang masuk jurusan matematika versus orang-orang yang keluar Sejumlah besar orang datang di berpikir mereka akan utama dalam matematika didasarkan pada matematika sekolah tinggi dan mencari tahu, tentu saja, bahwa matematika tidak seperti apa yang mereka pelajari di sekolah tinggi. Memang, salah satu mungkin berakhir hampir rerecruiting matematika utama. Saya tidak yakin seberapa besar jumlah datang bagi kita. Saya rasa pertanyaan yang lebih penting adalah bagaimana kita merekrut jurusan matematika di universitas.
Pertanyaan yang saya benar-benar ingin meningkatkan adalah ini. Aku bertanya-tanya apa Bruce atau orang lain memikirkan konsekuensi dari ujian Putnam adalah untuk matematika. Anda membaca kepada kami apa tujuan dan niat asli. Apa konsekuensi dari kenyataan bahwa kita memiliki ujian Putnam? Apakah ada konsekuensi matematika? Ambil pertanyaan pada setiap tingkat yang Anda inginkan
Bruce Reznick. Saya tidak berpikir ada konsekuensi besar. Saya kira ada sebuah kolam memperkaya masalah tertentu. Ada beberapa departemen yang mungkin terinspirasi untuk menghabiskan lebih banyak waktu berbicara tentang pemecahan masalah. Ada beberapa siswa yang terinspirasi untuk mencurahkan banyak energi untuk pemecahan masalah. Patologi terlalu kuat kata digunakan untuk keterlibatan Putnam berat. Saya tidak tahu apa kata yang tepat, tapi itu ciri seseorang yang bersedia untuk mencurahkan banyak waktu untuk masalah matematika sendiri. Bahwa pada dasarnya adalah sebuah prasyarat untuk melakukan kompetisi seperti ini: Anda benar-benar harus telah melakukan banyak masalah dan untuk menikmati melakukan hal-hal pada Anda sendiri. Perilaku seperti ini pada penyimpangan sangat sedikit sosial, dan saya kira itu adalah kelainan yang jauh kurang baik ditoleransi di antara perempuan dari antara anak laki-laki. Saya tidak tahu pasti. Berbicara sempit, saya tidak berpikir bahwa isi dari ujian ini adalah gender terkait. Fakta bahwa itu adalah ujian 6 jam pada satu hari dan Anda tidak bisa bekerja dengan orang lain mungkin terbukti lebih signifikan. Saya tidak tahu.
Gaea Leinhardt. Saya tidak berpikir itu gender terkait dalam cara Anda sarankan. Aku melihat enam gadis II-dan 12 tahun menghabiskan hampir sepanjang musim panas tahun ini lalu menulis novel 200-300 halaman. Ini adalah sepenuhnya kegiatan soliter. Gadis-gadis terjadi sangat verbal, dan aku tidak ingin peregangan pada saat itu sama sekali. Saya berpikir bahwa Anda akan menemukan koleksi betina pada remaja awal yang makhluk soliter juga. Saya tidak berpikir itu faktor diskriminatif

Bruce Reznick. Dan pada 18 atau 19?
Gaea Leinhardt. Ada juga.

John Addison. Sebagai catatan Bruce, Anda dapat melihat kaca Putnam sebagai jeda setengah kosong atau h2lf. Kebetulan saya dasar satu pemenang tiga kali Putnam sebagai mahasiswa dalam program pasca sarjana. Tidak ada yang benar-benar pernah terjadi dalam karirnya, dan itu pasti menarik. Jauh lebih mengesankan bagi saya, bagaimanapun, adalah jumlah matematikawan terkenal yang berada di daftar pemenang Putnam. Saya pikir benar-benar ada korelasi yang jauh lebih besar dari satu ingin mengakui kadang-kadang. Saya melakukan cek cepat Dalam departemen matematika l3erkeley di bagian kombinatorik aljabar kita yang tidak semua yang besar kita memiliki lima fellows Putnam.

Dari penonton. Seberapa besar departemen matematika?
John Addison. Tujuh puluh tiga, tapi mungkin hanya 10 atau 15 bahwa Anda akan mengatakan terkait cukup untuk aljabar untuk berada dalam kategori tersebut.

Ingram Olkin. Saya pikir nomor Anda menunjukkan bahwa itu hanya sebaliknya. Saya berharap banyak lagi yang harus Putnam sesama. Artinya, mengambil Transaksi Amerika Matematika Society dan melihat jumlah orang yang diterbitkan dalam 10 tahun terakhir dan lihat berapa banyak yang Putnam pemenang hadiah. Saya menduga nomor yang tidak relatif besar terhadap total populasi.

John Addison. Nah, ada hal aneh yang mungkin sangat disayangkan, bahwa hal itu tampaknya mematikan lebih banyak orang dalam aljabar dan kombinatorik. Namun. Aku akan mengatakan 5 dari 10 cukup mengesankan. Ini menimbulkan pertanyaan menarik, tentu saja, tentang apakah banyak dari orang-orang Putnam memulai kompetisi di sekolah tinggi. Sekarang ada seri tiga-tier pemeriksaan, itu menarik untuk merenungkan apakah atau tidak ini serangkaian panjang pengalaman bahwa kebanyakan dari orang-orang telah memiliki termasuk Putnam telah benar-benar membantu sekali dalam karir matematika mereka. ini sesuatu yang orang-orang ini akan melakukan hal yang sama baik pada tetap, atau apakah benar-benar membuat segala jenis input positif.

Bob Davis. Mengintai di bawah banyak diskusi ini banyak substansi presentasi Yehuda dan komentar Andy dalam reaksi. Ed Dubinsky menunjukkan sebelumnya bahwa ada dua hal mendasar yang kita hadapi-penyusunan matematikawan penelitian dan melek matematika umum. Dia bertanya-tanya berapa banyak mereka memiliki kesamaan. Sebuah pertanyaan menarik yang telah mengganggu saya selama beberapa waktu adalah: Apakah ada dua hal yang dikenal sebagai matematika atau dalam beberapa satu arti?

Sekolah-sekolah yang saya tinjau adalah terpaku pada hal-hal seperti aljabar 9-kelas, di mana Anda menghabiskan jumlah tertentu hari menggabungkan seperti istilah, di sekolah-sekolah, dan di sebagian besar saya pikir, matematika adalah hal yang sangat spesifik Anda selalu tahu apa yang harus lakukan; Anda diberitahu persis bagaimana untuk melakukannya; dan Anda berada dalam masalah besar jika Anda melakukannya dengan cara lain. Ini dikenal sebagai matematika. Hal mendasar adalah mengikuti instruksi, melakukan apa yang diperintahkan, dan mengingat apa yang Anda diberitahu. Ini kegiatan yang sangat berbeda dari sebagian dari kita, termasuk saya sendiri, telah dianggap sebagai matematika, Beberapa masalah Putnam memberikan contoh-contoh ini lebih matematika dalam bentuk-bebas. Mereka sangat berbeda dari masalah matematika sekolah, karena Anda tidak akan melakukan semua masalah dengan melakukan apa yang Anda diperintahkan untuk melakukan atau sesuatu yang sangat mirip dengan itu.

Ada banyak posisi yang bisa anda ambil hubungan antara dua jenis masalah. Sebuah posisi yang sangat populer mengatakan bahwa Anda harus melalui semua melakukan-apa-kau-yang-memberitahu hal, dan akhirnya Anda bisa sampai ke hal-hal yang menarik. Saya tidak seperti itu untuk banyak alasan. Salah satunya adalah melihat anak-anak. Saya menemukan bahwa anak-anak melakukan hal-hal menarik pada usia 6, jadi saya tidak mengerti mengapa anda ingin mereka untuk mengikuti melakukan-apa-kau-yang-diberitahu hal begitu lama. Kecurigaan pribadi saya adalah bahwa Anda tidak perlu sebagian besar matematika mimikri kita mengajarkan, dan bahwa kita dapat menyingkirkan banyak sekali ini. Ini juga merupakan masalah sosial. Melihat sekolah New Jersey, misalnya, saya melihat bahwa minoritas sedang buruk terbalaskan. karena mereka diberitahu jika Anda belajar bagaimana untuk melakukan melakukan-apa-kau-yang-mengatakan hal ada akan semua jenis pekerjaan di luar sana untuk Anda-dan tidak ada.

Alan Schoenfeld. Biarkan aku membawa diskusi untuk menutup dengan menunjuk ke sebuah referensi otoritatif bahwa evaluasi detik Bob dari kurikulum matematika saat ini, dan saran Ed yang mungkin ada sekolah matematika dan "nyata " matematika.

Webster's New Universal kamus lengkap menawarkan definisi berikut dari masalah panjang.
Definisi 1: Sebuah pertanyaan yang membingungkan atau sulit.
Definisi 2: Dalam matematika, apa pun perlu dilakukan.


Pendapat Ed Dubinsy
Ronald G. Wenger
Universitas Delaware

            Perhatian Dubinsky terhadap penelitian dan perkembangan “sebagai suatu perbedaan bagian-bagian dari sebuah keseluruhan” adalah sebuah posisi yang mudah dilaksanakan. Saya ingin menegaskan bahwa “kepraktisan” tema dalam pendapat yang singkat ini. Kemudian saya ingin menyelidiki kemungkinan dari maksud suatu rancangan buku pelajaran.
            Menurut saya Ed percaya tentang kehadiran “Negara Seni” disana terdapat resiko besar dalam usaha menerjemahkan hasil dari penelitian kecil ke dalam latihan yang bersifat pelajaran sebelum waktunya. Selama periode ini konsentrasi utama tentang pendidikan matematika, kecenderungan untuk melakukan ini sangat kuat, contohnya terdapat sebuah bilangan besar dari sugesti agresif tentang bagaimana kurikulum aljabar berubah dalam kehadiran sistem komputer aljabar. Walau bagaimanapun, sama seperti Ed, saya menganggap perspektif dan metode yang memiliki hasil dari penelitian tentang “Pengetahuan Kognitif” (definisi secara luas) sangat kuat antara latihan dan teori. Kevalidan suatu pendapat konstruktif didukung tidak hanya dari komunitas penelitian tapi dari banyaknya pengalaman guru yang berdedikasi. Namun guru membutuhkan bantuan dari komunitas peneliti tentang bagaimana implementasi efektif  ide yang bagus dan perspektif dari penelitian.
            Ed menyebutkan sintesis kembar yang berhak mendapat perhatian khusus adalah hubungan antara wujud konseptual (Greeno, 1983) dan organisasinya dalam ingatan pembelajaran. Saya menggunakan istilah konseptual untuk memberi kesan sebuah yang menghubungkan hubungan seterkemuka bagian discrete dari informasi (Hiebert dan Lefevre, 1986). Dubinsky mendiskusikan hubungan penggunaan tema dan tema . Proses secara pasti penggabungan objek dalam diskusinya dirancang untuk mempresentasikan kembali karakter suatu objek konstruksi pembelajaran dan jenis asosiasi atau pautan antara objek itu (dan selengkapnya) dan yang lainnya yang telah terkonsep. Tapi saya berharap guru dan pengarang buku pelajaran akan menilai dengan lebih berpedoman pada kriteria menggunakan pilihan dari wujud atau proses untuk mengembangkan sistematis contoh yang ia sajikan.
            Mungkin impediment yang paling serius adalah merancang lingkungan pmbelajaran yang lebih efektf atau bahan agar yang lebih nyata, umum, kita kekurangan pengertian prinsip bentuk pemahaman, yang ingin kita kembangkan kepada siswa. Secara pasti, pengarang buku pelajaran tidak tetap berusaha mendskripsikan aspek proses belajar matematika menurut Ed. “Komposisi genetik”nya dari berbagai macam topik seperti induksi matematika menyediakan suatu cara berpikir tentang isu organisasi pengetahuan yang sesungguhnya. Dengan tetap menspesifikan pada “analisis latihan-latihan global” (Wenger, 1987). Juga berusaha menyajikan prinsip deskripsi latihan yang lebih, kebanyakan dari mereka menggunakan cara yang sesungguhnya yang mengizinkan kita agar lebih baik mendeskripsikan jenis “pemahaman” yang kita inginkan untuk siswa dalam sebuah daerah khusus. Paradigma yang lebih untuk mendeskripsikan bentuk pemahaman adalah kebutuhan yang buruk.

            Pertanyaan praktis untuk mempertimbangkannya adalah : apakah bisa bakat seseorang, pengtahuan tentang peneltian pembelajaran maematika, kata para pengarang? Untuk menjelaskan urgensi dari pertanyaan saya, mari kita gunakan “grafik pemikiran” dan “pemikiran untuk memikirkan grafik” dan perawatan terhadap buku pelajaran
            Bebrapa tahun lalu dalam pertemuan komite (disebut dengan sombong, komite organisasi pengetahuan) di Pusat Matemaika dan Delaware, saya memiliki wawasan tentang kesalahan besar saya. Wawasan yang secara virtual tidak bermasalah dalam buku pelajaran prekalkulus, yannng mana salah satunya ”berfikir secara grafik” untuk diselesaikan. Terdapat secara pasti angka permasalahan yang sangat besar pada siswa diterangkan dalam grafik fungsi.
Grafik muncul di mana-mana dalam buku pelajaran. namun, dengan sedikit pengecualian, buku teks ini mengandung hampir tidak ada masalah yang: (a) tidak mengandung isyarat grafis, dan (b) tidak dapat diselesaikan secara efektif unles mereka reprsented grafis. berikut ini adalah contoh dasar: pada akhir kursus precaculus, tanyakan berapa banyak solusi persamaan. aneh adalah bahwa para siswa "dilatih" oleh pengalaman mereka, akan mencoba dan gagal satu-satunya masalah analitis.

tujuan dari contoh "grafis berpikir" adalah untuk menggambarkan beberapa titik. pertama, bahkan pada topik yang komunitas matematika saya di total kebulatan suara mengenai pentingnya, dia kegiatan belajar di mana siswa diminta untuk terlibat adalah sangat kurang dipikirkan oleh penulis buku. perhatian mereka pada encpsulation s keterampilan dengan asumsi implict bahwa pelajar tidak hanya akan dapat menggunakan mereka ketika diberitahu untuk melakukannya tetapi akan berpikir untuk berpikir grapically bahkan jika tidak diberitahu untuk melakukannya. karena alasan itu saya menemukan diri saya sangat tertarik dengan isu "kontrol" dibahas oleh Schoenfeld dalam memecahkan masalah karyanya-frame (Schoenfeld, 1985). Saya pikir Ed "dekomposisi genetik" membantu membuat beberapa komponen lebih eksplisit. Tapi itu bukan begitu jelas bagaimana bertindak lebih nya model umum dengan masalah pengendalian tersebut. siswa harus belajar menggunakan environtments komputer atau bahasa seperti ISETL untuk merangkum prosedur dan untuk membangun objek matematika "terasa benar." tapi naluri saya adalah bahwa media yang lebih kuat dan serbaguna representasional ini dalam dirinya sendiri (katakanlah ISETL).
yang lebih penting itu adalah memiliki pelajar melihat lebih dari satu sebagai instansiasi dari suatu obyek atau proses, seperti dekomposisi / komposisi fungsi atau rekursi. upaya siswa untuk menengahi perbedaan antara dua atau lebih enkapsulasi cukup berbeda dari sebuah konsep yang penting bahkan ketika media adalah sebagai serbaguna sebagai ISETL. namun masing-masing lingkungan komputasi seperti itu, apakah ISETL atau sistem aljabar komputer, menetapkan jumlah struktur sendiri pada konstruksi pembelajar dan organisasi pengetahuan mereka.

lain penegasan tentang teknologi instractional adalah bahwa setiap ot lingkungan komputasi baru hanya mempengaruhi penangkapan kesimpulan pembelajar 'tapi juga mendorong kesalahpahaman sendiri. pekerjaan Goldenberg (1998; Goldenberg & Kilman, 1988) memberikan gambaran bagus konteks-titik grafik perangkat lunak berbasis komputer. bahwa kita belum sebagai sadar akan kesalahpahaman yang mungkin timbul dari lingkungan menggunakan seperti ISETL seharusnya tidak membuat kita terlalu puas tentang kesulitan potensi.
Schwartz membuat perbedaan yang berguna tentang jenis perangkat lunak dalam satu sesi: (a) perangkat lunak untuk melakukan sesuatu, dan (b) perangkat lunak untuk belajar bagaimana melakukan sesuatu. dalam arti tertentu, percobaan instruksional Ed dengan campuran ISETL kedua-dengan segala kelebihan dan kekurangan yang berarti.
Singkatnya, saya mendesak bahwa kami terus bekerja untuk mengembangkan lebih deskripsi berprinsip dari beberapa bentuk-bentuk pemahaman yang telah sangat sulit bagi siswa untuk leaarn. pekerjaan Dubinsky's membantu dalam perusahaan itu. jika kita tidak mulai menggunakan deskripsi seperti dekomposisi genetik atau analisis tugas global untuk mengarahkan pengembangan tugas bagi siswa, kita tidak perlu heran jika buku teks terus permutasi dari pendahulu mereka, dan pemahaman bahwa siswa tidak membaik. menulis buku teks akan tetap seni. tetapi ada banyak yang bisa diperoleh dengan memiliki orang-orang dari matematika yang telah prespectives ilmu kognitif berkolaborasi secara lebih efektif dengan para ilmuwan kognitif yang memiliki kepentingan mathemetics kuat. kolaborasi tersebut cenderung menghasilkan rancangan bahan ajar yang lebih baik.



DAFTAR PUSTAKA

Brown, S.. & Walter, M. (1990). Seni problem posing (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Dewan Riset Nasional. (1990). Sebuah tantangan nomor. Washington. DC: National Academy Press.
NationaI Research Council. (1990). Memperbarui US matematika: Sebuah rencana untuk 1990-an. Washington. DC: National Academy Press.
Polya, G. (1981). Matematika penemuan (paperback gabungan ed.). New York: Wiley.
Schoenfeld, A. H. (1983). Pemecahan masalah dalam kurikulum matematika: Sebuah laporan, rekomendasi. dan bibliografi beranotasi. Washington, DC: Asosiasi Matematika Amerika.
Schoenfeld. A. H. (1985), Matematika pemecahan masalah. Orlando. FL: Academic Press.


Rabu, 12 Oktober 2011 | 0 komentar |

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)