ILMU
DAN MATEMATIKA
PENDAHULUAN
Dalam filsafat ilmu pengetahuan mempelajari esensi atau hakikat ilmu
pengetahuan tertentu secara rasional. Filsafat ilmu pengetahuan merupakan
cabang filsafat yang mempelajari teori pembagian ilmu, metode yang digunakan
dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis keterangan yang berkaitan dengan
kebenaran ilmu tertentu.
Filsafat ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan
mengenai masalah hakikat pengetahuan. Yang dimaksud dalam hal ini adalah suatu
ilmu pengetahuan kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan
tentang hakikat pengetahuan.
Dalam filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika. Ilmu tanpa
matematika tidak berkembang, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan.
Dengan pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya,
memikirkan hal-hal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas
di muka bumi ini.
Dalam tulisan ini
hanya di paparkan pengertian ilmu, pengertian matematika, hubungan
antara ilmu dan matematika. Ilmu dapat dipandang sebagai produk,sebagai proses
dan sebagai paradigma ethika.Ia berusaha memahami alam sebagaimana adanya.
A. PENGERTIAN ILMU
Ilmu berasal dari bahasa Arab: ‘alima, ya‘lamu, ‘ilman yang berarti
mengerti, memahami benar-benar. Dalam bahasa Inggris ilmu disebut science
dan bahasa latin scientia(pengetahuan). Dalam kamus besar bahasa
Indonesia Ilmu diartikan sebagai pengetahuan tentang suatu bidang yang disusun
secara bersistem menurut metode-metode tertentu, yang dapat digunakan untuk
menerangkan gejala-gejala tertentu dibidang pengetahuan itu.
Ada orang yang menamakannya ilmu, ada yang menamakannya ilmu pengetahuan,
dan ada pula yang menyebutnya saint. Keberagaman istilah tersebut adalah suatu
usaha untuk melahirkan padanan (meng-Indonesiakan) kata science yang asalnya
dari bahasa Inggris.
Dari segi maknanya, pengertian ilmu sepanjang yang dibaca dalam pustaka
menunjukkan pada sekurang-kurangnya tiga hal: pengetahuan, aktivitas dan
metode. Dalam hal yang pertama dan ini yang terumum, Ilmu senantiasa berarti
pengetahuan. Diantara fara filsuf dari berbagai aliran terdapat pemahaman umum
bahwa ilmu adalah suatu kumpulan yang sistimatis dari pengetahuan yang dihimpun
dengan perantaraan metode ilmiah.
Pengetahuan sesungguhnya hanyalah hasil atau produk dari suatu kegiatan
yang dilakukan oleh manusia. Dengan demikian dapatlah dipahami bilamana ada
makna tambahan dari ilmu sebagai aktivitas( atau suatu proses yakni serangkaian
aktivitas yang dilakukan oleh manusia). Menurut Prof Harold H Titus, banyak
orang telah mempergunakan istilah ilmu untuk menyebut suatu metode guna
memperoleh pengetahuan yang objective dan dapat diperiksa kebenarannya.
Pengertian ilmu sebagai pengetahuan, aktivitas atau metode itu bila
ditinjau lebih mendalam sesungguhnya tidak saling bertentangan. Bahkan sebaliknya,
ketiga hal itu merupakan kesatuan logis yang mesti ada secara berurutan. Ilmu
harus diusahakan dengan aktivitas manusia, aktivitas itu harus dilaksanakan
dengan metode tertentu dan aktivitas itu menghasilkan pengetahuan yang
sistimatis.
B. PERKEMBANGAN
ILMU
Ditinjau dari perkembangannya maka ilmu dibagi dalam tiga tahap yakni:
1. Tahap sistematis
Pada tahap ini ilmu mulai menggolong-golongkan objek empiris kedalam
kategori-kategori tertentu yang memungkinkan kita untuk menemukan ciri-ciri
yang bersifat umum dari angggota-anggota yang menjadi kelompok tertentu. Ini
merupakan pengetahuan manusia mengenali dunia fisik.
2. Tahap komparatif
Pada tahap ini ilmu mulai mencari hubungan yang didasarkan pada
perbandingan antara berbagai objek yang kita kaji.
3. Tahap
Kuantitatif
Pada tahap ini ilmu mencari hubungan sebab akibat berdasarkan pengukuran
yang eksak dari objek yang kita selidiki.
C. PENGERTIAN
MATEMATIKA
Matematika diambil dari bahasa Yunani, 
μαθηματικά – mathēmatiká) Perkataan itu mempunyai akar kata
mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge,science), secara
umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan,dan ruang: tak
lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka.
Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan
struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan
lain tergambar dalam filosofi matematika.
μαθηματικά – mathēmatiká) Perkataan itu mempunyai akar kata
mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge,science), secara
umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan,dan ruang: tak
lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka.
Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan
struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan
lain tergambar dalam filosofi matematika.
Beberapa aliran dalam filsafat matematika:
1. Aliran
Logistik
- Pelopornya : Immanuel Kant (1724
– 1804)
- Berpendapat bahwa matematika
merupakan cara logis (logistik) yang salah atau benarnya dapat ditentukan tanpa
mempelajari dunia empiris.
- Matematika murni merupakan
cabang dari logika, konsep matematika dapat di reduksikan menjadi konsep
logika.
2. Aliran
Intuisionis
- Pelopornya : Jan Brouwer (1881 –
1966)
- Berpendapat
bahwa matematika itu bersifat intusionis
- Intuisi
murni dari berhitung merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakekat
sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung
dan menghitung.
3. Aliran
Formalis
- Pelopornya : David Hilbert
(1862 – 1943)
- Berpendapat
bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang .
Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa
lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa
lambang.
- Kaum
Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa masalah-masalah dalam
logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika
Matematika adalah cara/ metode berpikir dan bernalar. Matematika adalah
cara berpikir yang digunakan untuk memecahkan semua jenis persoalan. Matematika
bila ditinjau dari segi epistemology ilmu bukanlah ilmu. Ia lebih
merupakan artificial yang bersifat eksak, cermat dan terbebas dari rona emosi.
Matematika adalah logika yang telah berkembang, yang memberikan sifat
kuantitatif kepada pengetahuan keilmuan.Matematika merupakan sarana berfikir
deduktif yang amat berguna untuk membangun teori keilmuan dan menurunkan
prediksi-prediksi daripadanya, dan untuk mengkomunikasikan hasil-hasil kegiatan
keilmuan dengan benar dan jelas dan secara singkat dan jelas. Matematika adalah
bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin
kita sampaikan. Lambang-lambang matematika mempunyai “artificial” yang baru
mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya.
D. HAKEKAT
MATEMATIKA
1. Matematika
sebagai sarana berpikir deduktif
Matematika dikenal dengan ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan
matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi
berdasarkan pengamatan( induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian
deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran pada tahap-tahap permulaan
seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi
geometris.
Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencarikebenaran dalam
matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu
pengetahuan umum. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah
ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau
eksperimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan
cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan
harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi,
sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat
dibuktikan secara deduktif.Sebagai contoh, dalam ilmu biologi berdasarkan pada
pengamatan, dari beberapa binatang menyusui ternyata selalu melahirkan.
Sehingga kita bisa membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang
menyusui adalah melahirkan.
Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang
telah dapat dibuktikan secara deduktif. Contoh: untuk pembuktian jumlah dua
bilangan ganjil adalah bilangan genap. Pembuktian secara deduktif sebagai
berikut: andaikan m dan n sembarang dua bilangan bulat maka 2m+ 1 dan 2n+1
tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan (2m+1) +
(2n+1) = 2(m+n+1). Karena m dan n bilangan bulat maka (m+n+1) bilangan
bulat, sehingga 2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil
selalu genap.
2. Matematika
bersifat terstruktur
Menurut Ruseffendi(Tim MKPBM,2001;25) matematika mempelajari tentang pola
keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari
unsure-unsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsure yang didefinisikan,
ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika
tersusun secara hierarkis, terstruktur,logis, dan sistematis mulai dari konsep
yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.
Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk
memahami topik atau konsep selanjutnya. Ibaratmembangun rumah, maka fondasi
harus kokoh. Contohnya konsep bilangan genap. Bilangan genap adalah bilangan
bulat yang habis dibagi dua. Sebelum membahas blangan genap, siswa harus
memahami dulu konsep bilangan bulat dan pengertian habis dibagi dua sebagai
konsep prasyarat.
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk
unsure-unsur matematika yang terdefinisi. Misalnya segitiga adalah lengkungan
tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah segmen garis.
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsure-unsur yang
terdefinisi dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau
postulat. Misalnya: melalui sebuah titik sembarang hanya dapat
dibuat sebuah garis kesuatu titik yang lain.
Tahap selanjutnya dari unsure-unsur yang tidak terdefiisi , unsure-unsur
yang terdefinsi , dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang
kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum. Misalnya: jumlah
ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat.
3. Matematika
sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika
adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain dan pada perkembangannya tidak
tergantung pada ilmu lain. Dengan
kata lain, banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika.
Sebagai contoh: banyak teori-teori dan cabang-cabang dari fisika dan kimia yang
ditemukan dan dikembangkan melalui konsep kalkulus. Teori mendel pada Biologi
melalui konsep pada probabilitas. Teori ekonomi melalui konsep fungsi dan
sebagainya.
Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan matemaika selain
tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri juga untuk melayani kebutuhan ilmu
pengetahuan lainnya dalam pengembangan dan operasinya. Cabang matematika yang
memenuhi fungsinya seperti yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan
matematika Terapan(Applied Mathematic)
4. Matematika
sebagai bahasa
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari
pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika baru mempunyai
arti setelah sebuah makna diberikan padanya. Tanpa itu maka matematika hanyalah
merupakan kumpulan unsur-unsur yang mati.
Bahasa verbal mempunyai beberapa kekurangan yang sangat mengganggu karena
terkadang mempunyai lebih dari satu arti. Untuk mengatasi kekurangan yang
terdapat pada bahasa maka kita berpaling pada matematika. Dalam hal ini dapat
kita katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan
sifat kabur, majemuk, danemosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang
darimatematika dibuat secara ”artifisial” yakni baru mempunyai arti
setelah sebuah makna diberikan. Dan bersifat individual yaitu berlaku khusus
untuk masalahyang sedang kita kaji.
5. Matematika
bersifat kuantitatif
Dengan bahasa verbal kita bisa membandingkan dua objek yang berlainan
umpamanya gajah dan semut, maka kita hanya bisa mengatakan gajah lebih
besar daripada semut, kalau ingin menelusuri lebih lanjut berapa besar gajah
dibandingkan dengan semut, maka kita mengalami kesulitan dalam mengemukakan
hubungan itu, bila ingin mengetahui secara eksak berapa besar gajah bila
dibandingkan dengan semut, maka dengan bahasa verbal tidak dapat mengatakan
apa-apa.
Matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran dapat
mengetahui dengan tepat berapa panjang. Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan
pernyataan yang bersifat kualitatif. Kita mengetahui bahwa sebatang logam bila
dipanaskan akan memanjang, tetapi tidak bisa mengatakan berapa besar
pertambahan panjang logamnya.
Untuk itu matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran ,
maka kita dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang sebatang logam dan
berapa pertambahannya bila dipanaskan, Dengan mengetahui hal ini maka
pernyataan ilmiah yang berupa pernyataan kualitatif seperti sebatang logam bila
dipanaskan akan memanjang, dpat diganti dengan pernyataan matematika yang lebih
eksak umpamanya: P1 = Po (1 + n), dimana P1 adalah panjang logam pada
temperatur t, Po merupakan panjang logam pada temperatur nol dan n merupakan
koefisien pemuai logam tersebut.
E. KARAKTERISTIK MATEMATIKA
1. Memiliki obyek yang abstrak
Obyek dasar matematika adalah abstrak dan
disebut obyek mental, obyek pikiran yaitu :
a. Fakta
Berupa
konvensi-konvensi yang di ungkap dengan simbol tertentu.
Contoh :
- ”2” dipahami sebagai bilangan ”doa”
- ”5-2” dipahami sebagai ”lima kurang dua”
- ”//” bermakna ”sejajar” dan lain-lain
b. Konsep
Konsep adalah ide abstrak yang dapat
digunakan untuk menggolongkan sejumlah obyek. Apakah obyek tertentu merupakan konsep atau bukan.
c. Operasi
- Operasi adalah
pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain.
- Operasi adalah
suatu relasi khusus karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen
tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui
-
Operasi unair, operasi biner dll
d. Prinsip
- Prinsip adalah
obyek matemática yang komplek. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta,
beberapa konsep, yang dikaitkan oleh suatu relasi / operasi
- Prinsip adalah
hubungan antara berbagai obyek dasar matemática. Prinsip dapat berupa axioma,
teorema, sifat dll
- Skill adalah
Prosegur atau suatu kumpulan aturan-aturan yang digunakan untuk menyelesaikan
soal matemática
2. Bertumpu pada
kesepakatan
Kesepakatan yang amat mendasar adalah axioma dan konsep primitif . Aksioma
disebut juga postulat adalah pernyataan pangkal yang tidak perlu di buktikan .
Konsep primitif disebut juga undefined term adalah pengertian pangkal yang
tidak perlu di definisikan.
3. Berpola pikir
deduktif
Kebenaran suatu konsep atau pernyataan yang diperoleh sebagai akibat logis
dari kebenaran sebelumnya sehingga kaitan Antar konsep atau pernyataan dalam
matemática bersifat consisten. Proses pembuktian secara deduktif akan
melibatkan teori atau rumus matemática lainnya yang sebelumnya sudad di
buktikan kebenarannya secara deduktif juga.
4. Memiliki simbol
yang kosong dari arti
Contoh : Model persamaan ”x+y=z” belum tentu bermakna bilangan, makna huruf
atau tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya
model itu.
5. Memperhatikan
semesta pembicaraan
Bila semesta pembicaraannya adalah bilangan maka simbol-simbol diarikan
bilangan. Contohnya: jika kita bicara di ruang lingkup vektor a+vektor b
=vektor c maka huruf-huruf yang digunakan bukan berarti bilangan tetapi harus
di artikan sebagai vektor
6. Konsisten dalam
sistemnya
Dalam matematika terdapat banyak sistem. Satu dengan yang lain bisa saling
berkaitan tetapi juga bisa saling lepas. Sistem-sistem aljabar : sistem aksioma
dari grup , sistem aksioma dari ring, sistem aksioma dari field, dsb.
Sistem-sistem geometri : sistem geometri netral, sistem geometri Euclides ,
sistem geometri non Euclides . Di dalam masing-masing sistem dan struktur itu
terdapat KONSISTENSI.
F.
PERBEDAAN MATEMATIKA DAN ILMU
Perbedaan matematika dan ilmu adalah:
- Pembuktian
pada matematika tidak di dapat dengan pembuktian empiris melainkan penalaran
deduktif
- Pembuktian
pada ilmu pengetahuan di dapat melalui pembuktian secara empiris.
G. HUBUNGAN ILMU
DAN MATEMATIKA
Matematika sangat penting bagi keilmuan, terutama dalam peran yang
dimainkannya dalam mengekspresikan model ilmiah. Mengamati dan
mengumpulkan hasil-hasil pengukuran, sebagaimana membuat hipotesis dan dugaan,
pasti membutuhkan model dan eksploitasi matematis. Cabang matematika yang
sering dipakai dalam keilmuan di antaranya kalkulus dan statistika, meskipun sebenarnya semua cabang matematika mempunyai
penerapannya, bahkan bidang “murni” seperti teori bilangan dan topologi. Tanpa
matematika maka pengetahuan akan berhenti pada tahap kualitatif yang
tidak memungkinkan untuk meningkatkan penalaran lebih jauh. Oleh karena maka
dapat dikatakan bahwa ilmu tanpa matematika tidak berkembang.
Beberapa orang pemikir memandang matematikawan sebagai ilmuwan, dengan
anggapan bahwa pembuktian-pembuktian matematis setara dengan percobaan.
Sebagian yang lainnya tidak menganggap matematika sebagai ilmu, sebab tidak
memerlukan uji-uji eksperimental pada teori dan hipotesisnya. Namun, dibalik
kedua anggapan itu, kenyataan pentingnya matematika sebagai alat yang sangat
berguna untuk menggambarkan/menjelaskan alam semesta telah menjadi isu utama
bagi filsafat matematika
KESIMPULAN
- Matematika mengakibatkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif.
- Fungsi matematika menjadi sangat penting dalam perkembangan berbagai ilmu pengetahuan
- Matematika merupakan ilmu deduktif.
PUSTAKA
Depdiknas. 2003. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Edisi ketiga. Jakarta: Balai Pustaka.
Suriasumantri,Jujun S. 2005. Filsafat Ilmu Sebuah
Pengantar Populer. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan.
″http://id.wikipedia.org/wiki/matematika″ Kategori:
Matematika
http://lela68.wordpress.com/2009/05/28/filsafat-ilmuilmu-dan-matematika/Di
akses 2 Oktober 2010
0 komentar: